Задача 1 | Да се определи m така, че системата да има единствено решение: 
| Решение | Задача 2 | | Решете уравнението: х1/6 = 2 | Решение | Задача 3 | | Да се намери m така, че уравнението x3 - 12x + m = 0 да има 3 различни корена. | Решение | Задача 4 | От вътреша точка М на равностранен триъгълник АВС са спуснати перпендикулярите МА1 = 14 см, МВ1 = 5 см и МС1 = 16 см към страните на триъгълника. Намерете страните на триъгълник А1В1С1. | Решение | Задача 5 | Острият ъгъл между медианите към катетите в правоъгълен триъгълник е α. Докажете, че е в сила следната зависимост:  | Решение | Задача 6 | Остроъгълния триъгълник АВС е вписан в окръжност с радиус 65/8. Построени са височините АА1 и СС1, които се пресичат в точка Н. От центъра на окръжността са спуснати перпендикулярите OF и OM съответно към страните АВ и ВС. Да се докаже, че AH=2OM и да се намерят страните на триъгълниците MOF и ABC, ако AH=33/4 и CH=39/4. | Решение | Задача 7 | Намерете най-голямата отрицателна стойност на параметъра а, за която уравнението 5х2+2ах+5=0 има два положителни корена. | Решение | Задача 8 | Лицето на повърхнина на куб е равно на лицето на повърхнина на правоъгълен паралелепипед с две измерения - 1,5 м и 6 м. Намерете третото измерение на паралелепипеда, ако обемът на куба е 125 куб.м. | Решение | Задача 9 | Двойките срещуположни страни на куб са оцветени в три различни цвята: червено, синьо и жълто. Лицето на повърхнина на куба е 37,5 кв.см. Намерете лицето на стените на куба, оцветени в червено, синьо и жълто. | Решение | Задача 10 | Правоъгълник със страни 8 и 10 е завит така, че да се получи прав кръгов цилиндър. Намерете лицето на околна повърхнина на получения цилиндър. | Решение | Задача 11 | В правилна четириъгълна пирамида основния ръб е 4 см, а височината е 1 см. Намерете околния ръб, лицето на околна повърхнина и обема на пирамидата. | Решение | Задача 12 | Точка М е средата на страната CD на успоредника ABCD и AM пресича BD в точка P. Ако DР е 3 см, да се намери дължината на диагонала BD. | Решение | Задача 13 | Точките M и N лежат на страната АВ на триъгълника АВС и са такива, че AM = MN = NB. Намерете лицето на триъгълника АВС, ако лицето на триъгълник MCN е 7 см2 | Решение | Задача 14 | Дадени са триъгълник АВС и т.М. Нека М1 е симетричната на М спрямо А, М2 е симетричната на М1 спрямо В и М3 е симетричната на М2 спрямо С. Да се докаже, че средата на отсечката ММ3 не зависи от избора на точката М. | Решение | Задача 15 | В окръжност е вписан четириъгълник ABCD със страни AB = 8, BC = 15, CD = 7 и ъгъл ABC = 60. Намерете AD. | Решение | Задача 16 | Даден е успоредник със страни a,b и височина h към по-голямата страна a. Намерете ъгъла между диагоналите на успоредника. | Решение |
|
